state gov RPSC 2nd Grade Senior Teacher Mock Test Series 2025 Mathematical Science Analysis Riemann Sums and Riemann Integral
मान लीजिए \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \) एक परिबद्ध फलन है ऐसा कि अंतराल [0, 1] के किसी भी विभाजन \( P = \{ x_0, x_1, \dots, x_n \} \) के लिए, निम्नलिखित शर्त लागू होती है:
\(\sum_{i=1}^{n} \left( \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \right) \to 0 \quad {as} \quad \|P\| \to 0, \)
जहाँ \( \|P\| \) विभाजन का जाल है।
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
1
f, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है और समाकल \(\int_0^1 f(x) \ \) , dx का अस्तित्व है और यह परिमित है।
2
f, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय नहीं है क्योंकि ऊपर दी गई शर्त रीमान समाकलनीयता के लिए पर्याप्त नहीं है।
3
f, [0, 1] पर केवल तभी रीमान समाकलनीय है जब फलन लगभग हर जगह सतत हो।
4
दी गई शर्त यह दर्शाती है कि f डार्बॉक्स समाकलनीय है लेकिन रीमान समाकलनीय नहीं है।
5
अनुत्तरित प्रश्न