Teaching JKPSC Lecturership Mock Test Series 2024-25 Mathematical Science Analysis Normed Linear Spaces
मान लीजिए कि p = 1, 2 के लिए \(\rm \displaystyle \ell^p=\left\{x=\left(x_n\right)_{n \geq 1}: x_n \in \mathbb{R},\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n\right|^p\right)^{1 / p}<\infty\right\}\) है। मान लीजिए C00 = {(xn)n≥1 : xn = 0 केवल परिमित n ≥ 1 के लिए} है।
x = (xn)n≥1 ∈ C00 के लिए, \(\rm \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{\sqrt{n}}\) को परिभाषित कीजिए। निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए।
I. (ℓ1, ∥·∥1) पर एक संतत रैखिक फलन F का अस्तित्व इस प्रकार है कि C00 पर F = f है।
II. (ℓ2, ∥·∥2) पर एक संतत रैखिक फलन G का अस्तित्व इस प्रकार है कि C00 पर G = f है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
1
I और II दोनों सत्य हैं।
2
I सत्य है और II असत्य है।
3
I असत्य है और II सत्य है।
4
I और II दोनों असत्य है।