Teaching JKPSC Lecturership Mock Test Series 2024-25 Mathematical Science Topology Separation Axioms
साधारण संस्थिति के साथ ℝ पर विचार कीजिए। निम्न में कौन सा वक्तव्य सही है?
1
33 अवयवों वाले एक परिमित समुच्चय की कम से कम 3 भिन्न हाउज्डॉर्फ सांस्थितियां (topologies) हैं।
2
X को हाउज्डॉर्फ संस्थिति वाला अरिक्त परिमित समुच्चय माने। X × X पर गुणन संस्थिति के साथ विचार करें। तब हर फलन f ∶ X × X → ℝ संतत है।
3
मानें कि X एक अनंत अवयवों वाला वियुक्त संस्थितिक समष्टि है। मानें कि f ∶ ℝ → X संतत फलन तथा g ∶ X → ℝ कोई भी अनियत फलन है। तब g ∘ f की रेंज (range) में कम से कम 2 अवयव हैं।
4
यदि किसी अरिक्त दूरीक समष्टि X में परिमित सघन उपसमूह है, तब एक असंतत फलन f ∶ X → ℝ का अस्तित्व है।