Teaching CSIR NET Mock Test Series Mathematical Science Statistics & Exploratory Data Analysis Independent Random Variables
बहु रैखिक प्रतिगमन मॉडल \(\underline{Y}=X \underline{\beta}+\underline{ϵ}\) पर विचार करें, जहाँ \(\underline{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^T\) , \(\underline{ϵ}=\left(ϵ_1, \ldots, ϵ_n\right)^T\) , \(\underline{\beta}=\left(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p\right)^T, \) X कोटि (p + 1) का एक निश्चित n × (p + 1) आव्यूह (n > p + 1) है, और ϵ 1 , ..., ϵ n स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) N(0, σ2), (σ > 0) चर हैं। यदि \(\underline{\hat{\beta}}\), \(\underline{\beta}\) का OLS अनुमानक है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
1
\(\frac{1}{\sigma^2} \underline{Y}^T X \underline{\hat{\beta}}\) में केंद्रीय \(\chi_{p+1}^2\) वितरण है
2
\(\frac{1}{\sigma^2}(\underline{Y}-X \underline{\hat{\beta}})^T(\underline{Y}-X \underline{\hat{\beta}})\) में केंद्रीय \(\chi_{n-p-1}^2\) वितरण है
3
\(X \underline{\hat{\beta}}\) और \((\underline{Y}-X \underline{\hat{\beta}})^T(\underline{Y}-X \underline{\hat{\beta}})\) स्वतंत्र रूप से वितरित हैं
4
\(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2\) केंद्रीय \(\chi_{n-1}^2\) वितरण है, जहाँ \(\bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\) है