Teaching CSIR NET Mock Test Series Mathematical Science Partial Differential Equations Laplace Equation, Heat and Wave Equations
\(\left.\begin{array}{rl} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & (x, t) \in \mathbb{R} \times(0, ∞), \\ u(x, 0)=f(x), & x \in \mathbb{R}, \\ u_t(x, 0)=g(x), & x \in \mathbb{R}, \end{array}\right\}\)
का हल u मान लें।
f. g यहां पर C2 (ℝ) में हैं। तथा निम्न प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हैं।
(i) x ≤ 0 के लिए f(x) = g(x) = 0,
(ii) x > 0 के लिए 0 < f(x) ≤ 1,
(iii) x > 0 के लिए g (x) > 0,
(iv) \(\int_0^{∞}\) g(x)dx < ∞.
तब निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
1
u(x, t) = 0 सभी x ≤ 0 तथा t > 0 के लिए
2
ℝ × (0, ∞) पर u परिबद्ध है
3
u(x, t) = 0 जब भी x + t < 0
4
u(x, t) = 0, x + t > 0 को संतुष्ट कर रहे कुछ (x, t) के लिए