त्रिज्या \( a \) के एक गोले के पृष्ठ पर एक परिबद्ध आवेश \( Q \) एकसमान रूप से वितरित है। गोले को एकसमान द्रव परावैद्युत माध्यम में डुबोया जाता है जिसका परावैद्युतांक \( \epsilon \) स्थिर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इसके अतिरिक्त, द्रव में एक मुक्त आवेश घनत्व होता है जो इस प्रकार दिया गया है:
\( \rho(r) = -kV(r) \),
जहाँ \( k \) एक स्थिरांक है, और \( V(r) \) केंद्र से \( r \) दूरी पर विद्युत विभव को अनंत के सापेक्ष दर्शाता है।
सर्वत्र विद्युत विभव \( V(r) \) की गणना करें, यह मानते हुए कि \( V = 0 \) जब \( r \to \infty \) है।
1
k<0 के लिए, \( V(r) = \begin{cases} \frac{Q }{4\pi a (1 + \alpha a)}, & r \leq a \\ \frac{Q e^{-\alpha(r-a)}}{4\pi r (1 + \alpha a)}, & r > a \end{cases} \)
2
k>0 के लिए, \( V(r) = \begin{cases} \frac{Q }{4\pi a (1 + \alpha a)}, & r \leq a \\ \frac{Q e^{-\alpha(r-a)}}{4\pi r (1 + \alpha a)}, & r > a \end{cases} \)
3
k<0 के लिए, \( V(r) = \frac{Q}{4\pi (\beta a \sin(\beta a) + \cos(\beta a))} \frac{ \cos(\beta a)}{r}, \, r < a \)
4
k >0 के लिए,\( V(r) = \frac{Q}{4\pi (\beta a \sin(\beta a) + \cos(\beta a))} \frac{ \cos(\beta a)}{a}, \, r \leq a \)